Question

如圖，在六面體A₁B₁C₁D₁中，平面A₁B₁C₁∥平面ABDE，△A₁B₁C₁是正三角形，四邊形AA₁B₁B是直角梯形，AB⊥AA₁，四邊形AEC₁A₁為正方形，四邊形ABDE是等腰梯形，AB∥DE，AB=2AE=2DE=2．
（Ⅰ）證明：AB₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求此幾何體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明AB₁∥平面C₁DE，通過(guò)證明平面ABB₁A₁∥平面C₁DE即可；
（Ⅱ）把多面體分割成兩個(gè)棱柱，分別求出體積，再求和．

解答： （Ⅰ）證明：∵四邊形AEC₁A₁是正方形，
∴AA₁∥EC₁，
∵AA₁?平面C₁DE，EC₁?平面C₁DE，
∴AA₁∥平面C₁DE；
同理AB∥平面C₁DE；
∵AB∩AA₁=A
∴平面ABB₁A₁∥平面C₁DE
∴AB₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）解：取AB中點(diǎn)F，連接EF，B₁F．
∵F為AB中點(diǎn)，AB=2AE=2DE=2，
∴AF=A₁B₁且AF∥A₁B₁，
∴四邊形AFB₁A₁為平行四邊形，
∴AA₁∥FB₁∥EC₁，
∵四邊形A₁AEG為正方形，
∴A₁A⊥AE，
∵AB∩AE=A，
∴AA₁⊥平面ABDE，且平面A₁B₁C∥平面AFE，
∴幾何體A₁BC₁-AFE為直棱柱，體積為1×（

3

4

×1²）=

3

4

；
同理BB₁F-DC₁E為直棱柱，體積為

3

2

×(

1

2

×1×1)=

3

4

；
∴此幾何體的體積為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的平行，考查了用分割法求多面體的體積，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力，是中檔題．