Question

設(shè){a_n}為公比不為1的等比數(shù)列，a₄=16，其前n項和為S_n，且5S₁、2S₂、S₃成等差數(shù)列．
（l）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

1

log2an•log2an+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．是否存在正整數(shù)k，使得對于任意n∈N^*不等式T_n＞（

2

3

）^k恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）假設(shè)存在正整數(shù)k使得對于任意n∈N^*不等式Tn＞(

2

3

)k都成立，則(Tn)min＞(

2

3

)k，利用對數(shù)的運算性質(zhì)、裂項可得b_n=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂項求和”及其數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}為公比q不為1的等比數(shù)列，
∵5S₁、2S₂、S₃成等差數(shù)列，
∴4S₂=5S₁+S₃，即4(a1+a1q)=5a1+a1+a1q+a1q2，
∴q²-3q+2=0，
∵q≠1，∴q=2，
又∵a₄=16，即a1q3=8a1=16，解得a₁=2，
∴an=2n．
（2）假設(shè)存在正整數(shù)k使得對于任意n∈N^*不等式Tn＞(

2

3

)k都成立，
則(Tn)min＞(

2

3

)k，
又bn=

1

log22n•log22n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

，
顯然T_n關(guān)于正整數(shù)n是單調(diào)遞增的，
∴(Tn)min=T1=

1

2

，
∴

1

2

＞(

2

3

)k，解得k≥2．
∴存在正整數(shù)k，使得對于任意n∈N^*不等式Tn＞(

2

3

)k都成立，且正整數(shù)k的最小值為2．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”及其數(shù)列的單調(diào)性，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．