Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在線段A₁B₁上，點Q在線段B₁C₁上，且B₁P=B₁Q，給出下列結論：
①A、C、P、Q四點共面；
②直線PQ與 AB₁所成的角為60°；
③PQ⊥CD₁；
④V_P-ABCD=V_Q-AA1D．
其中正確結論的個數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：如圖所示，①由B₁P=B₁Q，可得PQ∥A₁C₁，可得A、C、P、Q四點共面；
②連接AC，CB₁，可得△ACB₁是等邊三角形，可得異面直線PQ與 AB₁所成的角為60°；
③由②PQ⊥CD₁不正確；
④V_P-ABCD=

1

3

V正方體AC1，V_Q-AA1D=

1

3

×S△AA1D×A1B1=

1

3

×

1

2

S正方形AA1DD1×A₁B₁=

1

6

V正方體，即可判斷出．

解答： 解：如圖所示，
①∵B₁P=B₁Q，∴PQ∥A₁C₁，∴A、C、P、Q四點共面，因此正確；
②連接AC，CB₁，可得△ACB₁是等邊三角形，又AC∥A₁C₁，∴直線PQ與 AB₁所成的角為60°；
③由②PQ⊥CD₁不正確；
④V_P-ABCD=

1

3

V正方體AC1，V_Q-AA1D=

1

3

×S△AA1D×A1B1=

1

3

×

1

2

S正方形AA1DD1×A₁B₁=

1

6

V正方體．
∴V_P-ABCD≠V_Q-AA1D．
其中正確結論的個數(shù)2．
故選：B．

點評：本題綜合考查了正方體的有關性質，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．