Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

-7x

x2+x+1

．
（1）求f（-4）的值；
（2）求當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（3）試證明函數(shù)y=f（x）（x≥0）在[0，1]上為減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，f（-4）=f（4），則問(wèn)題可解；
（2）可先設(shè)x＜0，則-x＞0，然后將-x代入f（x）（x＞0）時(shí)的解析式，結(jié)合奇偶性化簡(jiǎn)即可；
（3）利用單調(diào)性的定義證明．

解答： 解：（1）由已知得f（-4）=f（4）=-

4

3

．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0．
所以f(-x)=

7x

x2-x+1

．
又f（x）是偶函數(shù)．
所以f(x)=f(-x)=

7x

x2-x+1

．
（3）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1．
所以f(x1)-f(x2)=

-7x1

x12+x1+1

-

-7x2

x22+x2+1

=

7(x1-x2)(x1x2-1)

(x12+x1+1)(x22+x2+1)

．
因?yàn)?＜x₁＜x₂＜1，所以x1-x2＜0，x1x2-1＜0，x12+x1+1＞0，x22+x2+1＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)y=f（x）（x≥0）在[0，1]上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)概念的準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵．