Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=8，直線DE交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于F，AE=6．
（1）若點(diǎn)P是邊AD上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），PH⊥DE于H，設(shè)DP為x，四邊形AEHP的面積為y，試求y與x的函數(shù)解析式；
（2）若AE=2EB．
①求圓心在直線BC上，且與直線DE、AB都相切的⊙O的半徑長；
②半徑為4，圓心在直線DF上，且與矩形ABCD的至少一邊所在直線相切的圓共有多少個？（直接寫出滿足條件的圓的個數(shù)即可）

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意，作PH⊥DF于點(diǎn)H，進(jìn)而得出△PHD∽△EAD，即可求出DH=

4

5

x，PH=

3

5

x，利用y=S_△AED-S_△PHD求出即可；
（2）①分別利用若⊙O₁與直線DE、AB都相切，且圓心O₁在AB的左側(cè)，過點(diǎn)O₁作O₁G₁⊥DF于G₁，若⊙O₂與直線DE、AB都相切，且圓心O₂在AB的右側(cè)，過點(diǎn)O₂作O₂G₂⊥DF于G₂，求出即可；
②利用圖形分析得出所有的可能即可．

解答： 解：（1）如圖1，作PH⊥DF于點(diǎn)H，
在Rt△AED中，
∵AE=6，AD=8，
∴ED=10，
∵∠PHD=∠EAD=90°，∠PDH=∠EDA，
∴△PHD∽△EAD，
∴

x

10

=

DH

8

=

PH

6

，
∴DH=

4

5

x，PH=

3

5

x，
∴y=S_△AED-S_△PHD=24-

6

25

x²；
（2）①∵∥BC，
∴△EBF∽△EAD，
∴

EF

10

=

3

6

=

BF

8

，
∴EF=5，BF=4，
如圖1，若⊙O₁與直線DE、AB都相切，且圓心O₁在AB的左側(cè)，過點(diǎn)O₁作O₁G₁⊥DF于G₁，
則可設(shè)O₁G₁=O₁B=r₁，
∵S_△EO1F+S_△EBO1=S_△EBF，
∴

1

2

r₁×5+

1

2

r₁×3=

1

2

×3×4，
解得：r₁=

3

2

，
若⊙O₂與直線DE、AB都相切，且圓心O₂在AB的右側(cè)，過點(diǎn)O₂作O₂G₂⊥DF于G₂，
則可設(shè)O₂G₂=O₂B=r₂，
∵S_△FO2D=

1

2

FO₂×DC=

1

2

DF×O₂G₂，
∴

1

2

×（4+r₂）×（6+3）=

1

2

×（10+5）×r₂，
解得：r₂=6，
即滿足條件的圓的半徑為

3

2

或6；
②如圖2所示：符合題意的有7個．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．