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16.已知數(shù)列{an}中,a1=12,an+1=12an+2n+32n+1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (1)由an+1=12an+2n+32n+1(n∈N*),可得2n+1an+1-2nan=2n+3.利用“累加求和方法”即可得出.
(2)由(1)可得:an=n22n+n12n1.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(122+2222+3223+…+n22n)+(0+12+222+323+…+n12n1).設(shè)An=0+12+222+323+…+n12n1,Bn=122+2222+3223+…+n22n.利用“錯(cuò)位相減法”可得An,兩次利用“錯(cuò)位相減法”可得Bn

解答 解:(1)∵an+1=12an+2n+32n+1(n∈N*),
∴2n+1an+1-2nan=2n+3.
∴2nan=2nan2n1an1+2n1an12n2an2+…+(22a2-2a1)+2a1
=2(n-1)+3+2(n-2)+3+…+2×1+3+1
=2×n1+1n12+3(n-1)+1=n2+2n-2.
∴an=n2+2n22n
(2)由(1)可得:an=n22n+n12n1
數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(122+2222+3223+…+n22n)+(0+12+222+323+…+n12n1).
設(shè)An=0+12+222+323+…+n12n1,Bn=122+2222+3223+…+n22n
①先求An,∵An=0+12+222+323+…+n12n1,
12An=0+122+223+…+n22n1+n12n,
12An=12+122+…+12n1-n12n=12112n1112-n12n,可得An=2-n+12n1
②∵Bn=122+2222+3223+…+n22n,
12Bn=122+2223+…+n122n+n22n+1,
12Bn=12+322+523+…+2n12n-n22n+1,
令Cn=12+322+523+…+2n12n,
12Cn=122+323+…+2n32n+2n12n+1
12Cn=12+2122+123++12n-2n12n+1=2×12112n112-12-2n12n+1,
∴Cn=3-3+2n2n
12Bn=3-3+2n2n-n22n+1,∴Bn=6-6+4n+n22n
∴Sn=6-6+4n+n22n+2-n+12n1=8-8+6n+n22n

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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