分析 (1)由an+1=12an+2n+32n+1(n∈N*),可得2n+1an+1-2nan=2n+3.利用“累加求和方法”即可得出.
(2)由(1)可得:an=n22n+n−12n−1.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(122+2222+3223+…+n22n)+(0+12+222+323+…+n−12n−1).設(shè)An=0+12+222+323+…+n−12n−1,Bn=122+2222+3223+…+n22n.利用“錯(cuò)位相減法”可得An,兩次利用“錯(cuò)位相減法”可得Bn.
解答 解:(1)∵an+1=12an+2n+32n+1(n∈N*),
∴2n+1an+1-2nan=2n+3.
∴2nan=(2nan−2n−1an−1)+(2n−1an−1−2n−2an−2)+…+(22a2-2a1)+2a1
=2(n-1)+3+2(n-2)+3+…+2×1+3+1
=2×(n−1+1)(n−1)2+3(n-1)+1=n2+2n-2.
∴an=n2+2n−22n.
(2)由(1)可得:an=n22n+n−12n−1.
數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(122+2222+3223+…+n22n)+(0+12+222+323+…+n−12n−1).
設(shè)An=0+12+222+323+…+n−12n−1,Bn=122+2222+3223+…+n22n.
①先求An,∵An=0+12+222+323+…+n−12n−1,
∴12An=0+122+223+…+n−22n−1+n−12n,
則12An=12+122+…+12n−1-n−12n=12(1−12n−1)1−12-n−12n,可得An=2-n+12n−1.
②∵Bn=122+2222+3223+…+n22n,
∴12Bn=122+2223+…+(n−1)22n+n22n+1,
12Bn=12+322+523+…+2n−12n-n22n+1,
令Cn=12+322+523+…+2n−12n,
則12Cn=122+323+…+2n−32n+2n−12n+1,
12Cn=12+2(122+123+…+12n)-2n−12n+1=2×12(1−12n)1−12-12-2n−12n+1,
∴Cn=3-3+2n2n.
∴12Bn=3-3+2n2n-n22n+1,∴Bn=6-6+4n+n22n.
∴Sn=6-6+4n+n22n+2-n+12n−1=8-8+6n+n22n.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | n≤5? | B. | n≤6? | C. | n≥5? | D. | n≥6? |
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A. | -1 | B. | -2 | C. | -4 | D. | -8 |
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A. | 752 | B. | 75√32 | C. | 75√22 | D. | 75√62 |
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