Question

已知函數f（x）=mx²-2（m+n）x+n，（m≠0）滿足f（0）•f（1）＞0，設x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根，則|x₁-x₂|的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由f（0）•f（1）＞0，即n（m+n）＜0，再由二次方程的韋達定理，得到|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4(m2+n2+mn) m2

=2

1+ n m +( n m )2

=2

( n m + 1 2 )2+ 3 4

，再由-1＜

n

m

＜0，即可得到范圍．

解答： 解：函數f（x）=mx²-2（m+n）x+n，（m≠0）滿足f（0）•f（1）＞0，
即有n（-m-n）＞0，即n（m+n）＜0，
由于x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根，
則4（m+n）²-4mn＞0，x₁+x₂=

2(m+n)

m

，x₁x₂=

n

m

，
則|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4(m2+n2+mn) m2

=2

1+ n m +( n m )2

=2

( n m + 1 2 )2+ 3 4

，
由于n（m+n）＜0，即有

m

n

＜-1，則-1＜

n

m

＜0，
當

n

m

=-

1

2

，取得最小值2

3 4

=

3

，

n

m

→0時，|x₁-x₂|→2，
則有|x₁-x₂|∈[

3

，2）．
故答案為：[

3

，2）．

點評：本題考查二次函數的值域的求法，考查二次方程的韋達定理和運用，考查運算能力，屬于中檔題．