Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意x，y，f（x）都滿足f（xy）=yf（x）+xf（y）．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由條件，可令x=y=1，得f（1），令x=y=-1，得f（-1）；
（2）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），代入f（-1）=0，再由奇偶性的定義，即可判斷．

解答： 解　（1）因為對定義域內(nèi)任意x，y，f（x）滿足f（xy）=yf（x）+xf（y），
所以令x=y=1，得f（1）=0，
令x=y=-1，得f（-1）=0；
（2）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），
代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），
所以f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)．

點評：本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值的求法：賦值法，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，注意運用定義和賦值，屬于中檔題．