Question

已知拋物線C：y²=2px （p＞0）過點A（1，-2）．
（1）求拋物線C的方程，并求其準線方程；
（2）是否存在與直線OA（O為坐標原點）垂直的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且點A到l的距離等于3

5

？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點在曲線上，即可求解拋物線方程．
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，求出方程為y=

1

2

x+t，聯(lián)立方程組，通過直線l與拋物線C有公共點，利用求出t的范圍．然后通過由點A到l的距離d=3

5

即可求出直線l的方程．

解答： 解 （1）將（1，-2）代入y²=2px，得（-2）²=2p•1，以p=2．
故所求的拋物線C的方程為y²=4x，其準線方程為x=-1．
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=

1

2

x+t，由

y= 1 2 x+t y2=4x

得y²-8y+8t=0．因為直線l與拋物線C有公共點，所以△=64-32t≥0，解得t≤2．
另一方面，由點A到l的距離d=3

5

可得

|1+2+2t|

5

=3

5

，
解得t=5或t=-10．因為5∉（-∞，2]，-10∈（-∞，2]，
所以符合題意的直線l存在，其方程為y=

1

2

x-10即x-2y-20=0．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．