Question

若在由正整數(shù)構(gòu)成的無窮數(shù)列{a_n}中，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n≤a_n+1，且對(duì)任意的正整數(shù)k，該數(shù)列中恰有k個(gè)k，則a₂₀₀₈=

63

．

Answer 1

分析：利用已知條件，判斷出數(shù)列中的各項(xiàng)特點(diǎn)，判斷出第2008 項(xiàng)所在的組，求出第2008項(xiàng)．

解答：解：∵對(duì)任意的正整數(shù)k，該數(shù)列中恰有k個(gè)k，
∴數(shù)列是1；2，2，；3，3，3；4，4，4，4；…
則當(dāng)n=62，
1+2+3+…+n=

n(1+n)

2

=

62(1+62)

2

=1953＜2008
當(dāng)n=63，
1+2+3+…+n=

n(1+n)

2

=

63(1+63)

2

=2016＞2008
∴a₂₀₀₈在第63組中，
故a₂₀₀₈=63．
故答案為63

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性．解答關(guān)鍵是利用已知條件，判斷出數(shù)列具有的函數(shù)性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)求出特定項(xiàng)．