Question

【題目】在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，

（1）求的值；

（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)和；

（3）求展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng).

Answer 1

【答案】（1）（2）最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，；（3）；；；．

【解析】

（1）根據(jù)前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的定義求得的值；

（2）根據(jù)通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，令即可求得展開式系數(shù)和；

（3）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得含的項(xiàng)的系數(shù)．設(shè)展開式中第項(xiàng)為有理項(xiàng)，則，當(dāng)、4、8時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)．

解：（1）展開式的通項(xiàng)為

因?yàn)榍?/span>3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，且前三項(xiàng)系數(shù)為，

所以，即，

所以（舍去）或.

（2）因?yàn)?/span>，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，

即.

令得，即展開式系數(shù)和為

（3）通項(xiàng)公式：

由，，

可得含的項(xiàng)的系數(shù)為.

設(shè)展開式中第項(xiàng)為有理項(xiàng)，由

當(dāng)、4、8時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，有理項(xiàng)分別為：；；．