Question

定義函數(shù)f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2．當(dāng)x∈[0，n），n∈N^*時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)锳，記集合A中的元素個(gè)數(shù)為a_n，則
（1）a₃=

 

；       
（2）

an+97

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，進(jìn)而得到a₃的值．
（2）由（1）用基本不等式并結(jié)合n為正整數(shù)，即可求出式子

an+97

n

的最小值．

解答： 解：（1）由題意可得[x]=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) … n-1，x∈[n-1，n)

，∴x•[x]=

0  ，x∈[0 ，1) x ，x∈[1 ，2) … (n-1)x ，x∈[n-1 ，n)

，
∴[x•[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)是：1，1，2，3，…，n-1，
∴a_n=1+1+2+…+（n-1）=

n2-n+2

2

，∴a₃=4；
（2）式子

an+97

n

=

n

2

+

98

n

-

1

2

≥13

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)n=7時(shí)，等號(hào)成立．
故當(dāng)n=7時(shí)，式子

an+97

n

取得最小值13

1

2

．
故答案為：（1）4；（2）13

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要通過取整函數(shù)來(lái)建立新函數(shù)，進(jìn)而研究其定義域和值域，屬于中檔題．