Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x+2﹣2cosx

（1）求函數(shù)f（x）在[，]上的最值：

（2）若存在x∈（0，）使不等式f（x）≤ax成立，求實數(shù)a的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）f（x）min＝2，f（x）max＝2；（2）（1，+∞）．

【解析】

(1)求導后分析導數(shù)的正負再求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.

(2)設,再代入,求導得的值域為,再根據(jù)的范圍進行討論,分析的最大值即可.

（1）f'（x）＝1+2sinx,

當x時,由f'（x）＜0得,,由f'（x）＞0得,,

∴函數(shù)f（x）在[,）上單調(diào)遞減,在（,]上單調(diào)遞增,

∴f（x）min＝f（）＝2,f（x）max＝f（）＝2；

（2）存在x∈（0,）使不等式f（x）≤ax成立,即x+2﹣2cosx＜ax成立,

設g（x）＝f（x）﹣ax＝x+2﹣2cosx﹣ax,則g（0）＝0,g'（x）＝1+2sinx﹣a,

當x∈（0,）時,1+2sinx∈（1,3）,所以g'（x）∈（1﹣a,3﹣a）,

由于1﹣a≥0即a≤1時,g'（x）＞0,則g（x）＞g（0）＝0,即f（x）＞ax恒成立,不滿足題意,

故1﹣a＜0,即a＞1,此時g'（0）＝1﹣a＜0,

因為g'（x）＝1+2sinx﹣a在（0,）上單調(diào)遞增,

所以存在區(qū)間（0,t）（0,）,使x∈（0,t）時,g'（x）＜0,

所以g（x）在（0,t）上單調(diào)遞增,則當x∈（0,t）時,g（x）＜g（0）＝0,即f（x）＜ax,

所以實數(shù)a的取值范圍是（1,+∞）．