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6.已知函數(shù)f(x)={1|x+1|x[20]2fx2x0+
(1)求函數(shù)f(x)在[-2,4]上的解析式;
(2)若方程f(x)=x+a在區(qū)間[-2,4]內(nèi)有3個等實根,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式,分別求出0≤x≤2以及2≤x≤4時f(x)的解析式,
即可寫出f(x)在[-2,4]上的解析式;
(2)畫出函數(shù)y=f(x)和y=x+a的圖象,利用y=f(x)和y=x+a在區(qū)間[-2,4]內(nèi)有3個不同的交點,即可求出實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)={1|x+1|x[20]2fx2x0+
當(dāng)0≤x≤2時,-2≤x-2≤0,
∴f(x)=2f(x-2)=2(1-|x-2+1|)=2-2|x-1|;
當(dāng)2≤x≤4時,0≤x-2≤2,
∴f(x)=2f(x-2)=2(2-2|x-2-1|)=4-4|x-3|;
∴函數(shù)f(x)在[-2,4]上的解析式為
f(x)={1|x+1|x[20]22|x1|x02]44|x3|x24];
(2)由(1)知,f(1)=2,f(2)=0,f(3)=4;
設(shè)y=f(x)和y=x+a,則方程f(x)=x+a在區(qū)間[-2,4]內(nèi)有3個不等實根,
等價為函數(shù)y=f(x)和y=x+a在區(qū)間[-2,4]內(nèi)有3個不同的交點;
作出函數(shù)f(x)和y=x+a的圖象,如圖所示:
當(dāng)直線經(jīng)過點A(2,0)時,兩個圖象有2個交點,此時直線y=x+a為y=x-2,
當(dāng)直線經(jīng)過點O(0,0)時,兩個圖象有4個交點,此時直線y=x+a為y=x,
當(dāng)直線經(jīng)過點B(3,4)和C(1,2)時,兩個圖象有3個交點,此時直線y=x+a為y=x+1,
∴要使方程f(x)=x+a在區(qū)間[-2,4]內(nèi)有3個不等實根,
則實數(shù)a的取值范圍是a=1或-2<a<0.

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題,也考查了函數(shù)的零點與方程根的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

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