分析 (1)聯(lián)立{x=a2cy=ax,解得:Q(a2c,abc),同理可得:P(a2c,−abc).利用等邊三角形與離心率計(jì)算公式即可得出.
(2)設(shè)雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦的端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).與雙曲線方程聯(lián)立化為:(3-a2)x2-2√3a2x-6a2=0,利用|AB|=√(1+a2)[(x1+x2)2−4x1x2]=2e2a=12a,解出a,進(jìn)而得出.
解答 解:(1)F(c,0).
聯(lián)立{x=a2cy=ax,解得:x=a2c,y=abc,取Q(a2c,abc),同理可得:P(a2c,−abc).
∵△FPQ為等邊三角形,∴c−a2c=√3×abc,化為:b=√3a.
∴雙曲線C的離心率e=ca=√1+2a2=2.
(2)設(shè)雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦的端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立{y=ax+√3ax2a2−y23a2=1,化為:(3-a2)x2-2√3a2x-6a2=0,
△>0,可得0<a2<6.
∴x1+x2=2√3a23−a2,x1x2=−6a23−a2.
∴|AB|=√(1+a2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+a2)[12a4(3−a2)2+24a23−a2]=2e2a=12a,
化為:13a4-77a2+102=0,
解得a2=2或5113,
∴a2=2時(shí),b2=6.
a2=5113時(shí),b2=15313.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x22−y26=1,13x251-13y2153=1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | 充分不必要條件 | B. | 充要條件 | ||
C. | 必要不充分條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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