Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+4b²，a，b∈R．
（Ⅰ）若a從集合{3，4，5}中任取一個(gè)元素，b從集合{1，2，3}中任取一個(gè)元素，求方程f（x）=0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；
（Ⅱ）若a從區(qū)間[0，2]中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間[0，3]中任取一個(gè)數(shù)，求方程f（x）=0沒(méi)有實(shí)根的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：分析：（Ⅰ）因?yàn)閍，b∈Z，且a∈A，b∈B，這是一個(gè)古典概型，設(shè)事件E為““方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A，分別算出基本事件個(gè)數(shù)和事件A中包含的基本事件，最后根據(jù)概率公式即可求得事件E的概率．
（2）由已知化簡(jiǎn)集合A和B，設(shè)事件“x∈A∩B”的概率為P₁，這是一個(gè)幾何概型，測(cè)度是長(zhǎng)度，代入幾何概型的計(jì)算公式即可；

解答： 解：設(shè)“方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A，
當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，方程f（x）=0有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為a＞2b．
當(dāng)a＞2b時(shí)，a，b取值的情況有（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），
即A包含的基本事件數(shù)為4，而基本事件總數(shù)為9．
∴方程f（x）=0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率P（A）=

4

9

；

（2）由已知a∈A=x|0＜x＜2}，b∈B=x|0＜x＜3}，（2分）
設(shè)事件“方程f（x）=0沒(méi)有實(shí)根”為事件B，
當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，方程f（x）=0沒(méi)有實(shí)根的充要條件為a＜2b，
這是一個(gè)幾何概型，則P（B）=

1 2 ×1.5×3

2×3

=

3

8

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查古典概型、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)．古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè)，簡(jiǎn)單地說(shuō)，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．