Question

在直角坐標系中，A（-2，0），B（2，0）是兩個定點，C（0，p）．D（0，q）是兩個動點，且pq=3．
（Ⅰ）求直線AC與BD交點的軌跡M的方程；
（Ⅱ）已知點P（1，t）是軌跡M上位于x軸上方的定點，E，F(xiàn)是軌跡M上的兩個動點，直線PE與直線PF分別與x軸相交于G、H兩點，且∠PGH=∠PHG，求直線EF的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知得直線AC的方程，得到p=

2y

x+2

，得直線BD的方程，得q=

-2y

x-2

，再由pq=3得直線AC與BD交點的軌跡M的方程；
（Ⅱ）把點P（1，t）代入M的軌跡方程得t=

3

2

．進一步得到P的坐標，設(shè)直線PE的斜率為k，寫出直線PE方程，聯(lián)立直線方程與M的軌跡，把E的坐標用k表示，同理把F的坐標用k表示，然后利用兩點求斜率公式可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由A（-2，0），C（0，p），可得直線AC的方程為

y-0

p-0

=

x-(-2)

0-(-2)

，即p=

2y

x+2

．
由B（2，0），D（0，q），可得直線BD的方程為

y-0

q-0

=

x-2

0-2

，即q=

-2y

x-2

．
由pq=3，得

2y

x+2

•

-2y

x-2

=3，整理得：

x2

4

+

y2

3

=1，
∵pq≠0，∴C，D不與原點重合，即A（-2，0），B（2，0）不在軌跡M上，
∴直線AC與BD交點的軌跡M的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（y≠0）；
（Ⅱ）∵點P（1，t）是軌跡M上位于x軸上方的定點，∴

1

4

+

t2

3

=1，解得t=

3

2

．
∴P（1，

3

2

），
設(shè)直線PE的斜率為k，則直線PE方程為y=k(x-1)+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1，
得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
∵P（1，

3

2

）在曲線M上，
∴x1=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y1=kx1+

3

2

-k，
又∠PGH=∠PHG，得直線PF的斜率為-k，
同理可得x2=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y2=-kx2+

3

2

+k，
∴直線EF的斜率為kEF=

y2-y1

x2-x1

=

-k(x1+x2)+2k

x2-x1

．
∵x1+x2=

8k2-6

4k2+3

，x2-x1=

24k

4k2+3

，
∴kEF=

y2-y1

x2-x1

=

-k(x1+x2)+2k

x2-x1

=

-k(8k2-6)+24(4k2+3)

24k

=

1

2

．

點評：本題考查了曲線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，常采用直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力．