Question

數(shù)列{a_n}中，滿足a₁=1，且a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

（n≥1，且n∈N^*），用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n≥2（n≥2，且n∈N⁺）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：①當(dāng)n=2時(shí)，a₂=2≥2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即a_k≥2（k≥2），
那么a_k+1=[1+

1

k(k+1)

]a_k+

1

2k

≥a_k≥2．這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．
根據(jù)①②可知：a_k≥2對(duì)所有n≥2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)考查邏輯推理能力．