Question

已知圓C的方程：x²+y²-2x-4y+m=0，其中m＜5．
（1）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點，且|MN|=

4 5

5

，求m的值；
（2）在（1）條件下，是否存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為

5

5

，若存在，求出c的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）圓的方程化為（x-1）²+（y-2）²=5-m，圓心C（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離為

1

5

，由此解得m=4．
（2）假設(shè)存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為

5

5

，由于圓心 C（1，2），半徑r=1，由此利用圓心C（1，2）到直線l：x-2y+c=0的距離，能求出c的范圍．

解答： 解：（1）圓的方程化為（x-1）²+（y-2）²=5-m，
圓心 C（1，2），半徑 r=

5-m

，
則圓心C（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離為：
d=

|1+2×2-4|

12+22

=

1

5

…（3分）
由于|MN|=

4

5

，則

1

2

|MN|=

2

5

，
有r2=d2+(

1

2

|MN|)2，
∴5-m=(

1

5

)2+(

2

5

)2，解得m=4．…（6分）
（2）假設(shè)存在直線l：x-2y+c=0，
使得圓上有四點到直線l的距離為

5

5

，…（7分）
由于圓心 C（1，2），半徑r=1，
則圓心C（1，2）到直線l：x-2y+c=0的距離為：
d=

|1-2×2+c|

12+22

=

|c-3|

5

＜|1-

1

5

|，…（10分）
解得4-

5

＜c＜2+

5

．…（13分）

點評：本題考查實數(shù)值和實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．