已知f(x)=ax+blnx-1,設(shè)曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為y=0.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=mf(x)+
x2
2
-mx,其中1<m<3.求證:當(dāng)x∈[1,e]時,-
3
2
(1+ln3)<g(x)<
e2
2
-2.
考點:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)f′(x)=a+
b
x
,由已知條件得a-1=0,a+b=0.由此能求出a和b.
(Ⅱ)由f(x)=x-lnx-1,x>0,得g(x)=
x2
2
-mlnx-m,x>0
g′(x)=x-
m
x
=
x2-m
x
由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能證明當(dāng)1<m<3,x∈[1,e]時,-
3
2
(1+ln3)<g(x)<
e2
2
-2
解答: (本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:f′(x)=a+
b
x
,(2分)
依題意f(1)=0,且f'(1)=0.(3分)
所以a-1=0,a+b=0.
解得a=1,b=-1.(4分)
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)得f(x)=x-lnx-1,x>0.
所以g(x)=
x2
2
-mlnx-m,x>0
g′(x)=x-
m
x
=
x2-m
x
.(6分)
當(dāng)m>0時,由g'(x)>0得x>
m
,由g'(x)<0得0<x<
m

所以g(x)在區(qū)間(0,
m
)
上是減函數(shù),
在區(qū)間(
m
,+∞)
上是增函數(shù),x=
m
是g(x)的極小值點.(8分)
當(dāng)1<m<3,x∈[1,e]時,
m
∈[1,e]

所以g(x)的最小值為g(
m
)
,最大值為max(g(1),g(e)).(9分)
設(shè)h(m)=g(
m
)=-
m
2
-
m
2
lnm
,則h′(m)=-1-
1
2
lnm
,
因為1<m<3,所以lnm>0,h'(m)<0.
所以h(m)在1<m<3上單調(diào)遞減,
所以,h(m)>h(3)=-
3
2
-
3
2
ln3=-
3
2
(1+ln3)
.(11分)
所以,當(dāng)1<m<3,x∈[1,e]時,g(x)>-
3
2
(1+ln3)

又因為1<m<3,g(e)=
e2
2
-2m<
e2
2
-2
,(12分)
g(1)=
1
2
-m<0<
e2
2
-2
.(13分)
所以當(dāng)1<m<3,x∈[1,e]時,g(x)<
e2
2
-2
,
綜上,當(dāng)1<m<3,x∈[1,e]時,-
3
2
(1+ln3)<g(x)<
e2
2
-2
.(14分)
點評:本題考查實數(shù)值的求法,考查不等式的證明,解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若lg2=a,lg3=b,則
lg15
lg12
等于( 。
A、
1+a+b
2a+b
B、
1+a+b
a+2b
C、
1-a+b
2a+b
D、
1-a+b
a+2b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

證明:若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=0,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx-sin2x
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[-
π
12
,
π
4
],則當(dāng)x取何值時函數(shù)取得最值,最值是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log0.2(-x2+2x+3)
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定義在R上的奇函數(shù).
(1)求k的值;
(2)若f(1)=
3
2
,且函數(shù)f(x)在[1,t]上的值域為[
3
2
15
4
],求t的值;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-f(2-x)+3,x1,x2是R上的任意兩個實數(shù),且x1+x2=1,若g(mx1)+g(mx2)恒為一個常數(shù),求非零常數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某園藝師用兩種不同的方法培育了一批珍貴樹苗,在樹苗3個月大的時候,隨機(jī)抽 取甲、乙兩種方式培育的樹苗各20株,測量其髙度,得到的莖葉圖如圖(單位:cm):

(Ⅰ)依莖葉圖判斷用哪種方法培育的樹苗的平均高度大?
(Ⅱ)現(xiàn)從用甲種方式培育的高度不低于80cm的樹苗中隨機(jī)抽取兩株,求高度為86cm的樹苗至少有1株被抽中的概率;
(Ⅲ)如果規(guī)定高度不低于85cm的為生長優(yōu)秀,請?zhí)顚懴旅娴?x2列聯(lián)表,并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為樹苗高度與培育方式有關(guān)?”
甲方式乙方式合計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計
下面臨界值表僅供參考:
P(K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
(參考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果函數(shù)f(x)對給定區(qū)間l上任意兩個實數(shù)x1,x2都滿足不等式f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間l上具有性質(zhì)M.
(1)寫出一個對數(shù)函數(shù)f(x),使得f(x)在(0,+∞)上具有性質(zhì)M;(不需說明理由)
(2)(i)求證:函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[0,+∞)上具有性質(zhì)M;
(ii)設(shè)x,y∈R*,且x 
3
2
+y 
3
2
=a(a為正常數(shù)),試求x3+y3的最小值;
(3)已知函數(shù)f(x)=
x2+2x,x≥-2
x+2,x<-2
,若實數(shù)a使得f(x)在區(qū)間[a,5](a<5)上具有性質(zhì)M,試求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在空間四邊形ABDC中,M、N分別是AB、CD中點,設(shè)MN=a,線段AC=BD=2a,求異面直線AC和BD所成的角.

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同步練習(xí)冊答案