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19.已知關(guān)于x的方程x2-alnx-ax=0有唯一解,則實數(shù)a的取值范圍為(-∞,0)∪{1}.

分析 由題意有x2=alnx+ax=a(lnx+x)   ①,則①可變換為:1a=lnx+xx2   ②;方程x2-alnx-ax=0有唯一解即②式中y=1a 與 g(x)圖形有唯一交點;

解答 解:因為f(x)=x2-alnx-ax=0,即有x2=alnx+ax=a(lnx+x)   ①,函數(shù)定義域為x∈(0,+∞);
∵x2>0,∴a≠0,且lnx+x≠0,
則①可變換為:1a=lnx+xx2   ②;
令g(x)=lnx+xx2 (x>0),則g'(x)=xlnx+1x3;
方程x2-alnx-ax=0有唯一解即②式中y=1a 與 g(x)圖形有唯一交點;
令g'(x)=0,則導(dǎo)函數(shù)零點x=1;
∴當x∈(0,1)時,g'(x)>0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;
當x∈(1,+∞)時,g'(x)<0,則g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
要使得y=1a 與 g(x)圖形有唯一交點,即1a=1 或  1a0⇒a=1或a<0
故答案為:(-∞,0)∪{1}

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,以及方程根與圖形交點之間的關(guān)系,屬中等題.

練習(xí)冊系列答案
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A.6B.9C.12D.18

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10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,關(guān)于數(shù)列{an}有下列四個結(jié)論:
①若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則Sn=na1;
②若Sn=2n-1,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
③若Sn=an2+bn(a,b∈R),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
④若Sn=an(a∈R),則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.
其中正確結(jié)論的序號是①③.

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7.如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F、H分別是BC、PC、PD的中點.   
(Ⅰ)證明:AE⊥PD;
(Ⅱ)若AB=1,且AF=22,求多面體AEFH的體積.

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14.要得到函數(shù)y=sin2x的圖象,只需將y=sin(2x+\frac{π}{4})的圖象(  )
A.向左平移\frac{π}{8}個單位長度B.向右平移\frac{π}{8}個單位長度
C.向左平移\frac{π}{4}個單位長度D.向右平移\frac{π}{4}個單位長度

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4.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)證明:AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

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11.函數(shù)f(x)=\sqrt{x+1}+lg(3-2x)的定義域為[-1,\frac{3}{2}).

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8.已知橢圓\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1的一點M到橢圓的一個焦點的距離等于4,那么點M到橢圓的另一個焦點的距離等于( �。�
A.2B.4C.6D.8

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7.已知tanx=3,則\frac{sinx+3cosx}{2sinx-3cosx}=2.

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