Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調(diào)性，得到，再討論，，三種情況，計算得到答案.

（2）計算得到，討論，兩種情況，分別計算單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到答案.

（1），

①當(dāng)時恒成立，所以單調(diào)遞增，因為，所以有唯一零點，即符合題意；

②當(dāng)時，令，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)。

（i）當(dāng)即,所以符合題意，

（ii）當(dāng)即 時，

因為，

故存在,所以 不符題意

（iii）當(dāng) 時，

因為，

設(shè)，

所以,單調(diào)遞增，即，

故存在，使得，不符題意；

綜上，的取值范圍為。

（2）。

①當(dāng)時，恒成立，所以 單調(diào)遞增，所以，

即符合題意；

②當(dāng) 時，恒成立，所以單調(diào)遞增，

又因為，

所以存在，使得，且當(dāng)時，。

即在上單調(diào)遞減，所以，不符題意。

綜上，的取值范圍為.