已知f（x）=lnx+
1
x
+ax（a∈R），求f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)時a的取值范圍．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：計算題,導數(shù)的綜合應用
分析：求導f′（x）=
1
x
-
1
x2
+a；從而化f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)為在[2，+∞）上，
1
x
-
1
x2
+a≥0或
1
x
-
1
x2
+a≤0恒成立，配方法求F（x）=（
1
x
-
1
2
）2-
1
4
的值域即可．
解答： 解：f′（x）=
1
x
-
1
x2
+a；
f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)即在[2，+∞）上，
1
x
-
1
x2
+a≥0或
1
x
-
1
x2
+a≤0恒成立，
即a≥
1
x2
-
1
x
或a≤
1
x2
-
1
x
；
令F（x）=
1
x2
-
1
x
=（
1
x
-
1
2
）2-
1
4
；
∵x≥2，
∴0＜
1
x
≤
1
2
；
∴-
1
4
（
1
x
-
1
2
）2-
1
4
＜0；
故a≥0或a≤-
1
4
．
點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求證：cos
θ
2
cos
θ
22
cos
θ
23
…cos
θ
2n
=
sinθ
2nsin
θ
2n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且{
Sn
n
}是等差數(shù)列，已知a1=1，
S2
2
+
S3
3
+
S4
4
=12．
（Ⅰ）求{an}的通項公式an；
（Ⅱ）當n≥2時，an+1+
λ
an
≥λ恒成立，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=4bsinA，則cosB=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

化簡：sinαcos5α-cosαsin5α

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，若對其中任意x1，x2（x1≠x2）恒有都有f（
x1+x2
2
）＜
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）是D上的“凹函數(shù)”，若f（x）=x|ax-4|（a≠0）在[2，3]上為“凹函數(shù)”，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-1與x=
2
3
處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若當x∈[-1，2]時恒有f（x）＜c2+3c成立，求實數(shù)c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（0，2]上是增函數(shù)，且f（x-4）=-f（x），給出下列結論：
①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，則f（x1）+f（x2）＞0；
②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，則f（x1）＞f（x2）；
③若方程f（x）=m在[-8，8]內(nèi)恰有四個不同的實根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=-8或8；
④函數(shù)f（x）在[-8，8]內(nèi)至少有5個零點，至多有13個零點
其中結論正確的有（　�。�
A、1個B、2個C、3個D、4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某公司為一家制冷設備廠設計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用，如圖所示，ABCD（AB＞AD）為長方形薄板，沿AC折疊后，AB′交DC于點P，經(jīng)試驗當△ADP的面積最大時最節(jié)能．
（1）設AB=x（米），用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍．
（2）若要求最節(jié)能，應怎樣設計薄板的長和寬？

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