Question

（本小題滿分14分）三棱柱的直觀圖及三視圖（正視圖和俯視圖是正方形，側(cè)視圖是等腰直角三角形）如圖所示，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正切值．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查三視圖、線線垂直、線面垂直、空間向量法、補(bǔ)體法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力. 第一問，利用線面垂直的性質(zhì)，得到，再由，利用線面垂直的判定，得到平面，利用線面垂直的性質(zhì)得，再由、，利用線面垂直的判定，得到平面，

平面，平面；第二問，利用空間向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，得到和向量的坐標(biāo)，計(jì)算出平面和平面的法向量，再利用夾角公式得到，最后再計(jì)算.

試題解析：由三視圖可知，幾何體為直三棱柱—，側(cè)面為邊長(zhǎng)為2的正方形，底面是等腰直角三角形， 2分

（1）直三棱柱—中，平面，平面，

，，D為AC的中點(diǎn)，，

又面，面，且，

平面，又面，① ..6分

又，

又面，面，且，

面，面，

在正方形中，

又面，面，且，

面，又面，② ..8分

由①②，又面，面，且，

面. 9分

（2）解法一（空間向量法）以為原點(diǎn)建系，易得

設(shè)平面的法向量由，

得令，得 ..12分

又平面的法向量設(shè)二面角的平面角為，

所以 ..14分

解法二：

所求二面角與二面角互余，

取中點(diǎn)，有⊥平面，過作垂線，垂足為，

 

所以二面角的平面角是 11分

，

因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006020472656556/SYS201506200602099611992432_DA/SYS201506200602099611992432_DA.080.png">與二面角互余，

所以二面角的正切值為； ..14分

解法三（補(bǔ)形）如圖補(bǔ)成正方體，易得為二面角的平面角，

..14分

考點(diǎn)：三視圖、線線垂直、線面垂直、空間向量法、補(bǔ)體法.