Question

（2006•海淀區(qū)一模）一次小測驗共有3道選擇題和2道填空題，每答對一道題得20分，答錯或不答得0分，某同學答對每道選擇題的概率均為0.8，答對每道填空題的概率均為0.5，各道題答對與否互不影響．
（Ⅰ）求該同學恰好答對2道選擇題和一道填空題的概率；
（Ⅱ）求該同學至多答對4道題的概率；
（Ⅲ）若該同學已經答對了兩道填空題，把他這次測驗的得分記為ξ，求ξ的概率分布及數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）該同學恰好答對2道選擇題和一道填空題，說明充3個選擇題中選2個答對，2道填空中選1個答對，根據相互獨立的事件的概率公式進行求解即可；
（Ⅱ）欲求該同學至多答對4道題的概率可利用1減答對5道題的概率即可；
（Ⅲ）ξ的可能取值為40，60，80，100，然后分別求出相應的概率，列出分布列，根據數學期望公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：該同學恰好答對2道選擇題和一道填空題的概率為P=

C

2 3

(

4

5

)2

1

5

C

1 2

(

1

2

)2=

24

125

…3分
（Ⅱ）該同學至多答對4道題的概率為1-(

4

5

)3(

1

2

)2=

109

125

…6分
（Ⅲ）ξ的可能取值為40，60，80，100…7分
P（ξ=40）=(

1

5

)3=

1

125

…8分
P（ξ=60）=

C

1 3

(

4

5

)(

1

5

)2=

12

125

…9分
P（ξ=80）=

C

2 3

(

4

5

)2

1

5

=

48

125

…10分
P（ξ=100）=(

4

5

)3=

64

125

…11分
∴ξ的概率分布為

ξ	40	60	80	100
P	1 125	12 125	48 125	64 125

E（ξ）=40×

1

125

+60×

12

125

+80×

48

125

+100×

64

125

=88…13分

點評：本題主要考查了離散型隨機變量的期望與方差，以及離散型隨機變量及其分布列，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．