Question

設(shè)f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

，（0＜a＜1）
（1）求f（x）的表達(dá)式，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）對(duì)于f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，恒有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法，設(shè)log_ax=t，則x=a^t，代入化簡(jiǎn)即可，再利用奇偶性的定義證明即可，
（2）函數(shù)為增函數(shù)，利用定義證明即可，
（3）利用函數(shù)為奇函數(shù)和增函數(shù)，得到不等式組，解得即可．

解答： 解：（1）設(shè)log_ax=t，則x=a^t，
∴f（t）=

a(a2t-1)

at(a2-1)

=

a2t+1-a

at+2-at

=

a

a2-1

(at-a-t)
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)
∴f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
（2）函數(shù)為增函數(shù)，
∵f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)
設(shè)x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

（ax1-a-x1-ax2+a-x2）=

a

a2-1

（ax1-ax2+(

1

a

)x2-(

1

a

)x1），
∵0＜a＜1時(shí)，
∴a²-1＜0，

1

a

＞1，
∴ax1-ax2＞0，+(

1

a

)x2-(

1

a

)x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∵f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
∴

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

解得，1＜m＜

2

，
故m的取值范圍為（1，

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查合理函數(shù)的解析式，奇偶性，單調(diào)性，以及不等式組的解法，屬于基礎(chǔ)題．