Question

13．已知f（x）是定義在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)?x∈（0，∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)g（x）=f（x）-f′（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． l
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由設(shè)t=f（x）-lnx，則f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，從而求出g（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-lnx為定值，
設(shè)t=f（x）-lnx，
則f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
則f（x）=lnx+e，f′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，
故g（x）=lnx+e-$\frac{1}{x}$，則g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
故g（x）在（0，+∞）遞增，
而g（1）=e-1＞0，g（$\frac{1}{e}$）=-1＜0，
存在x₀∈（$\frac{1}{e}$，1），使得g（x₀）=0，
故函數(shù)g（x）有且只有1個(gè)零點(diǎn)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和零點(diǎn)存在定理，關(guān)鍵是求出f（x），屬于中檔題．