Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）和[1，+∞）上的單調(diào)性（不必證明）；
（2）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求 的值；
（3）若存在實數(shù)a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是[ma，mb]（m≠0），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數(shù)f（x）的解析式可得，在（0，1）上，函數(shù)為減函數(shù)；

在[1，+∞）上函數(shù)為增函數(shù)．

（2）解：∵當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，∴ ﹣1=1﹣ ，

∴ =2．

（3）若存在實數(shù)a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是[ma，mb]（m≠0），

則函數(shù)f（x）在[a，b]上是增函數(shù)，故[a，b]（1，+∞）．

可得1﹣ =ma，1﹣ mb，故方程1﹣ =mx有2個大于1的不等實數(shù)根，

即mx2﹣x+1=0有2個大于1的不等實數(shù)根．

令h（x）=mx2﹣x+1，則有 ，求得0＜m＜ ．

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)在區(qū)間（0，1）和[1，+∞）上的單調(diào)性．（2）由題意可得， ﹣1=1﹣ ，從而求得 的值．（3）由題意可得1﹣ =ma，1﹣ mb，故方程1﹣ =mx有2個大于1的不等實數(shù)根，即mx2﹣x+1=0有2個大于1的不等實數(shù)根．令h（x）=mx2﹣x+1，則由 求得m的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．