已知橢圓
x2
4
+y2=1，過(guò)點(diǎn)M（-1，0）作直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求AB中點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求△OAB面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．
（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
則
x21
4
+
y21
=1，(1)
x22
4
+
y22
=1，(2)

（1）-（2），得
(x1-x2)(x1+x2)
4
+(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴
x
4
+
y
x+1
•y=0，即x2+x+4y2=0
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
令l：x=hy-1代入x2+4y2=4，得（4+h2）y2-2hy-3=0，△=16（h2+3）＞0，
y1+y2=
2h
4+h2
，y1y2=-
3
4+h2

∴S=
1
2
•|OM|•|y1-y2|=
1
2
•
△
4+h2
=
2
h2+3
h2+4
，
令
h2+3
=t≥
3
，則S=
2t
t2+1
=
2
t+
1
t
在[
3
，+∞)上單調(diào)遞減，
∴t=
3
，即h=0時(shí)，Smax=
3
2
，此時(shí)l：x=-1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為D（2，-1），求直線l的一般式方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)M到拋物線C焦點(diǎn)F的距離|MF|=2．
（1）試求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與拋物線C相交所得的弦的中點(diǎn)為（2，1），試求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
4
+
y2
2
=1，過(guò)程P（1，1）作直線l，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：x2-
y2
2
=1，過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）求弦長(zhǎng)|AB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
1
2
，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，
3
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)且
AM
•
AN
=0，試問：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得S△FMN=λS△AMN成立，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知點(diǎn)M（
3
，0），橢圓
x2
4
+y2=1與直線y=k（x+
3
）交于點(diǎn)A、B，則△ABM的周長(zhǎng)為（　�。�
A．4B．8C．12D．16

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在直線y=x-2上是否存在點(diǎn)P，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)P能作出拋物線y=
1
2
x2的兩條互相垂直的切線？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

雙曲線
x2
v
-
y2
圖6
=圖的右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．

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同步練習(xí)冊(cè)答案