Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+a）•e^x（x∈R）在點A（0，f（0））處的切線l的斜率為-3．
（1）求a的值以及切線l的方程；
（2）求f（x）在R上的極大值和極小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）先由所給函數(shù)的表達式，求導數(shù)f′（x），再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，可得求a的值，進而得到切線方程；
（2）確定極值點，函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在R上的極大值和極小值．

解答： 解：（1）f（x）=（x²+a）•e^x⇒f'（x）=（x²+2x+a）•e^x…（2分）
所以f'（0）=-3⇒a=-3，…（4分）
所以f（0）=-3，切線方程為3x+y+3=0；…（6分）
（2）f（x）=（x²+a）•e^x⇒f'（x）=（x²+2x-3）•e^x=（x+3）（x-1）e^x⇒f'（x）=0⇒x=-3或x=1，…（8分）
當x∈（-∞，-3），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當x∈（-3，1），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，…（11分）
所以極大值為f（-3）=6e^-3，極小值為f（1）=-2e．…（13分）

點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)的極值等基礎知識，考查運算求解能力．