Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱AA₁的中點(diǎn)，求截面EB₁C與底面ACD所成二面角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，求出平面EB₁C的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出截面EB₁C與底面ACD所成二面角的大�。�

解答： 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，
則E（2，0，1），B₁（2，2，2），C（0，2，0），

CE

=（2，-2，1），

CB1

=（2，0，2），
設(shè)平面EB₁C的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • CE =2x-2y+z=0 n • CB1 =2x+2z=0

，取x=1，得

n

=（1，

1

2

，-1），
又平面ACD的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)截面EB₁C與底面ACD所成二面角的平面角為θ，
cosθ=

| n • m |

| m |•| n |

=

1

3 2

=

2

3

．
∴截面EB₁C與底面ACD所成二面角的大小為arccos

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，線線角、線面角、二面角的概念、求法等知識(shí)，以及空間想象能力和邏輯推理能力．