【題目】已知橢圓C：的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，左頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A的直線l與C交于另一個(gè)點(diǎn)M，且與直線x＝t交于點(diǎn)N．

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得為定值？若存在，求實(shí)數(shù)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）y2＝1；（2）存在，t

【解析】

（1）由題意可得b＝1，運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，c，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t＝t0，使得為定值．可設(shè)直線l的方程為y＝k（x+2），M（x0，y0），聯(lián)立橢圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得M的坐標(biāo)，將t＝t0代入y＝k（x+2），求得N的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合定值，可得所求值．

（1）由題意可得2b＝2，即b＝1，e，a2﹣b2＝c2，

解得a＝2，c，則橢圓C的方程為y2＝1；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t＝t0，使得為定值．

由題意可得直線l的斜率存在，由A（﹣2，0），可設(shè)直線l的方程為y＝k（x+2），M（x0，y0），

聯(lián)立，可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，

由韋達(dá)定理可得﹣2x0，即x0，y0＝k（x0+2），

即M（，），

將t＝t0代入y＝k（x+2），可得N（t0，k（t0+2）），

則，

若為定值，則，

span>解得t0，此時(shí)為定值，

所以存在實(shí)數(shù)t，使得為定值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線與直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱．

（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)是軸上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，直線、與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．如果相交，求出的交點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的任意兩項(xiàng)均不相等，且的定義域?yàn)?/span>；②數(shù)列的前的項(xiàng)的和對(duì)任意的都成立，則稱與具有“共生關(guān)系”．

（1）若，試寫出一個(gè)與數(shù)列具有“共生關(guān)系”的函數(shù)的解析式；

（2）若與數(shù)列具有“共生關(guān)系”，求實(shí)數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合，并寫出關(guān)于，，的表達(dá)式；

（3）若，求證：“存在每項(xiàng)都是正數(shù)的無窮等差數(shù)列，使得與具有‘共生關(guān)系’”的充要條件是“點(diǎn)在射線上”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn)，為的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，設(shè)，，，有以下個(gè)結(jié)論：

①的最大值是；②；③存在點(diǎn)，滿足.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)在[1，2]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，其圖象關(guān)于點(diǎn)和直線x對(duì)稱，給出下列結(jié)論：

①；

②函數(shù)f（x）在[0，1]上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)；

③函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增；

④函數(shù)f（x）的最小正周期是2．

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）

A.②③B.①④C.②③④D.①②

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，底面，且.

（1）證明：平面；

（2）若，求異面直線與所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】人口平均預(yù)期壽命是綜合反映人們健康水平的基本指標(biāo).年第六次全國(guó)人口普查資料表明，隨著我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，人民生活水平的不斷提高以及醫(yī)療衛(wèi)生保障體系的逐步完善，我國(guó)人口平均預(yù)期壽命繼續(xù)延長(zhǎng)，國(guó)民整體健康水平有較大幅度的提高.下圖體現(xiàn)了我國(guó)平均預(yù)期壽命變化情況，依據(jù)此圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A.男性的平均預(yù)期壽命逐漸延長(zhǎng)

B.女性的平均預(yù)期壽命逐漸延長(zhǎng)

C.男性的平均預(yù)期壽命延長(zhǎng)幅度略高于女性

D.女性的平均預(yù)期壽命延長(zhǎng)幅度略高于男性

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四面體ABCD中，△ABC和△BCD均是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，已知四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，且AD是該球的直徑，則四面體ABCD的體積為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線D的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程以及曲線D的直角坐標(biāo)方程；

（2）若過點(diǎn)（極坐標(biāo)）且傾斜角為的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，弦MN的中點(diǎn)為P，求的值．

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