Question

如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P為圓（x+1）²+y²=16上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C為圓心，線段PA的垂直平分線交PC于點(diǎn)B．
（1）求證：△ABC的周長(zhǎng)為定值；
（2）求點(diǎn)B的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直接由題意可得△ABC的周長(zhǎng)為|BA|+|BC|+|AC|=|CP|+CA|=4+2=6定值；
（2）|BA|+|BC|=|CP|=4＞|CA|=2，點(diǎn)Q的軌跡是以C，A為焦點(diǎn)的橢圓，且得到長(zhǎng)半軸和半焦距，再由b²=a²-c²求得b²，則點(diǎn)B的軌跡方程可求．

解答： 解：（1）依題意知：|BA|=|BP|，
∴△ABC的周長(zhǎng)為|BA|+|BC|+|AC|=|CP|+CA|=4+2=6定值；
（2）|BA|+|BC|=|CP|=4＞|CA|=2，
∴點(diǎn)Q的軌跡是以C，A為焦點(diǎn)的橢圓，
a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，考查橢圓的定義，屬于中檔題．