已知函數(shù)().
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
⑵如果是曲線上的任意一點,若以為切點的切線的斜率恒成立,求實數(shù)的最小值;
⑶討論關(guān)于的方程的實根情況.
(1)單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是;(2);(3)見解析.
【解析】
試題分析:(1)先由對數(shù)函數(shù)的定義求出函數(shù)的定義域,然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求解;(2)先寫出切點處的切線的斜率,然后根據(jù)已知條件得到,則有,結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間上的圖像與性質(zhì),可得的最小值;(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù),將方程的實根的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題.由函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,即最大值是,分三種情況進行討論:當(dāng),函數(shù)的圖象與軸恰有兩個交點;當(dāng)時,函數(shù)的圖象與軸恰有一個交點;當(dāng)時,函數(shù)的圖象與軸無交點.由方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系得解.
試題解析:(1),定義域為,
則,
∵,
由得,;由得,.
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是. 2分
(2)由題意,以為切點的切線的斜率滿足:
,
所以對恒成立.
又當(dāng)時,,
所以的最小值為. 7分.
(3)由題意,方程化簡得:
.
令,則.
當(dāng)時,;當(dāng)時,.
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以在處取得極大值即最大值,最大值為.
所以當(dāng),即時,的圖象與軸恰有兩個交點,
方程有兩個實根;
當(dāng)時,的圖象與軸恰有一個交點,
方程有一個實根;
當(dāng)時,的圖象與軸無交點,
方程無實根. 12分
考點:1.對數(shù)函數(shù)的定義;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;3.利用導(dǎo)數(shù)研究切線斜率;4.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì);5.方程的根與函數(shù)的零點
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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