20.如圖,雙曲線k2x2-y2=1(k>0)的兩條漸近線與圓(x+2)2+y2=5在x軸的上方交于A、B兩點.
(1)已知A、B兩點的橫坐標(biāo)x1和x2恰為關(guān)于x的方程(k2+1)x2+bx+c=0的兩個根,試求b、c的值;
(2)如果線段AB的長為2,求雙曲線的方程.

分析 (1)由題意可知雙曲線的兩條條漸近線方程為:y=±kx,與圓聯(lián)立方程組,消y可得(k2+1)x2+4x-1=0,再根據(jù)A、B兩點的橫坐標(biāo)x1和x2恰為關(guān)于x的方程(k2+1)x2+bx+c=0的兩個根,即可求出b,c的值,
(2)由A(x1,-kx1),B(x2,kx2),根據(jù)兩點間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系可得k2=4,即可求出雙曲線的方程.

解答 解:(1)由題意可知雙曲線的兩條條漸近線方程為:y=±kx,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=±kx}\\{(x+2)^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$,消y可得k2x2+(x+2)2=5,即為(k2+1)x2+4x-1=0,
又A、B兩點的橫坐標(biāo)x1和x2恰為關(guān)于x的方程(k2+1)x2+bx+c=0的兩個根,
∴b=4,c=-1,
(2)由A(x1,-kx1),B(x2,kx2),
∴|AB|=$\sqrt{({x}_{1}-{x}_{2})^{2}+{k}^{2}({x}_{1}+{x}_{2})^{2}}$=2,
∴(x1-x22+k2(x1+x22=4,
∴(1+k2)x12+(2k2-2)x1x2+(1+k2)x22=4,
即(1+k2)(x12+x22)+(2k2-2)x1x2=4
即(1+k2)(x1+x22-4x1x2=4
由(1)可知x1+x2=$\frac{-4}{{k}^{2}+1}$,x1x2=$\frac{-1}{{k}^{2}+1}$,
∴(1+k2)$\frac{16}{({k}^{2}+1)^{2}}$+4×$\frac{1}{{k}^{2}+1}$=4,
即k2+1=5,
即k2=4,
∴雙曲線方程為4x2-y2=1.

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.設(shè)函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$cos2ωx+sin(ωx+$\frac{π}{2}$)sinωx+a(其中ω>0,a∈R),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$.且f(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{6}$]上的最小值為0.
(1)求a,ω的值;
(2)用五點法作出它一個周期范圍內(nèi)的簡圖.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.對于函數(shù)y=2sin(3x+$\frac{π}{4}$),求出其定義域,值域,最小正周期,以及單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.隨機抽取某中學(xué)甲乙兩班各6名學(xué)生,測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.
(1)判斷哪個班的平均身高較高,并說明理由;
(2)計算甲班的樣本方差;
(3)現(xiàn)從乙班這6名學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生,求至少有一名身高不低于175cm的學(xué)生被抽中的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足${a_1}=\frac{1}{2},{a_n}+2{S_n}{S_{n-1}}=0(n≥2)$.
①數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是否為等差數(shù)列?并證明你的結(jié)論;            
②求Sn;
③求證:$S_1^2+S_2^2+S_3^2+…+S_n^2<\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.如圖,在△ABC中,∠C=Rt∠,以頂點C為圓心,BC為半徑作圓.若$AC=4,tanA=\frac{3}{4}$求AB的長度為5;⊙C截AB所得弦BD的長為$\frac{18}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.從某校的高一學(xué)生中采用系統(tǒng)抽樣法選出30人測量其身高,數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖(單位:cm):若高一年級共有600人,據(jù)上圖估算身高在1.70m以上的大約有300人.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.已知命題p:方程ax2+ax-2=0在[-1,1]上有解,命題q:只有一個實數(shù)x滿足:x2+2ax+2a≤0.
(Ⅰ)若f(x)=ax2+ax-2,則f(x)的圖象必定過兩定點,試寫出這兩定點的坐標(biāo)(-1,-2),(0,-2)(只需填寫出兩點坐標(biāo)即可);
(Ⅱ)若命題“p或q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.從4名男生和3名女生中任選2人參加演講比賽,
(1)求所選2人都是男生的概率;
(2)求所選2人恰有1名女生的概率;
(3)求所選2人中至少有1名女生的概率.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案