分析 ①由${a_1}=\frac{1}{2},{a_n}+2{S_n}{S_{n-1}}=0(n≥2)$.可得Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,化為:$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2,即可證明.
②利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.
③n≥2時,${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$<$\frac{1}{4}\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{4}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$.利用“裂項求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
解答 ①解:∵${a_1}=\frac{1}{2},{a_n}+2{S_n}{S_{n-1}}=0(n≥2)$.
∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,化為:$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2,
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$為等差數(shù)列,公差為2,首項為2.
②解:$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2(n-1)=2n.
∴Sn=$\frac{1}{2n}$.
③證明:n≥2時,${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$<$\frac{1}{4}\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{4}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$.
∴${S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}$+…+${S}_{n}^{2}$≤$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})]$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n}$<$\frac{1}{2}$.
點評 本題考查了等差數(shù)列的定義通項公式、“裂項求和”與數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列遞推關系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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A. | M>N | B. | M<N | C. | M≥N | D. | M≤N |
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