Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ABE為等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，動點(diǎn)F在校CE上，無論點(diǎn)F運(yùn)動到何處時，總有BF⊥AE．
（Ⅰ）試判斷平面ADE與平面BCE是否垂直，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求二面角D-CE-A的余弦值的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCE．利用空間幾何知識進(jìn)行證明．
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)E為x軸，OB為y軸，過O垂直于平面ABE的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-CE-A的余弦值的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCE．
∵動點(diǎn)F在棱CE上，無論點(diǎn)F運(yùn)動到何處時，總有BF⊥AE，
∴AE⊥平面BCE，
∵AE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCE．
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)E為x軸，OB為y軸，過O垂直于平面ABE的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知：A（0，-1，0），D（0，-1，2），
C（0，1，2），E（1，0，0），

DC

=（0，2，0），

CE

=（1，-1，-2），

AE

=（1，1，0），

AC

=（0，2，2），
設(shè)平面EDC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DC =2y=0 n • CE =x-y-2z=0

，
取x=2，得

n

=(2，0，1)，
設(shè)平面EAC的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • AE =x1+y1=0 m • AC =2y1+2z1=0

，
取x₁=1，得

m

=（1，-1，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2+0+1

5 • 3

=

15

5

．
∴二面角D-CE-A的余弦值的大小為

15

5

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面是否垂直的判斷與證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．