Question

已知偶函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（x+2）=0，且當x∈[0，1]時，f（x）=x•e^x，若在區(qū)間[-1，3]內，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-2k有且僅有3個零點，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由f（x）-f（x+2）=0得f（x）=f（x+2），得到函數(shù)的周期是2，由g（x）=f（x）-kx-2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）-f（x+2）=0，
∴f（x）=f（x+2），
即函數(shù)的周期是2，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=x•e^x，
∴根據(jù)增函數(shù)的性質可知，此時函數(shù)f（x）單調遞增，且f（0）=0，f（1）=e，
∴當x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=-x•e^-x，
由g（x）=f（x）-kx-2k=0，得到f（x）=k（x+2），
作出兩個函數(shù)f（x）和g（x）=k（x+2）在[-1，3]的圖象，
由圖象可知當x=1時，f（1）=e，
當x=3時，f（3）=f（1）=e，即B（1，e），C（3，e），
當直線y=k（x+2）經(jīng)過點B（1，e）時，此時兩個函數(shù)有2個交點，此時e=3k，解得k=

e

3

，
直線y=k（x+2）經(jīng)過點C（3，e）時，此時兩個函數(shù)有4個交點，此時e=5k，解得k=

e

5

，
∴要想使函數(shù)g（x）=f（x）-kx-2k有且僅有3個零點，
則直線應該位于直線AB和AC之間，
∴此時直線的斜率k滿足

e

5

＜k＜

e

3

，
故k的取值范圍是（

e

5

，

e

3

），
故答案為：（

e

5

，

e

3

）

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應用，利用函數(shù)的周期性和單調性之間的關系，將方程轉化為兩個函數(shù)，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵，綜合性較強．