Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

2

2

，且點P（1，

2

2

）在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點D（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點E，F(xiàn)，試求△OEF面積的取值范圍（O為坐標原點）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由e=

1- b2 a2

=

2

2

，得

x2

2b2

+

y2

b2

=1，把點P（1，

2

2

）代入，能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)l的方程為y=kx+2，代入

x2

2

+y2=1，得：（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此韋達定理結(jié)合已知條件能求出△OEF面積的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

2

2

，
∴e=

1- b2 a2

=

2

2

，∴a=

2

b，c=b，
∴橢圓的方程

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
∵點P（1，

2

2

）在橢圓上，∴

1

2b2

+

1

2b2

=1，解得b²=1，
∴

x2

2

+y2=1．…（5分）
（2）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)l的方程為y=kx+2，代入

x2

2

+y2=1，得：
（2k²+1）x²+8kx+6=0，
由△＞0，解得k²＞

3

2

，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則

x1+x2= -8k2 2k2+1 x1x2= 6 2k2+1

，…（7分）
S_△OEF=S_△OED-S_△OFD
=

1

2

OD•|x1|-

1

2

OD|x2|
=

1

2

OD|x1-x2|
=

1

2

•2|x₁-x₂|
=|x₁-x₂|，
|x₁-x₂|=

(x1-x2)2-4x1x2

=

( -8k2 2k2+1 )2-4• 6 2k2+1

=

16k2-24 (2k2+1)2

=

16(k2- 3 2 ) (2k2+1)2

，
令k2-

3

2

=t，(t＞0)，∴k2=t+

3

2

，（t＞0）
∴S_△OEF=|x₁-x₂|=

16t (2t+4)2

=

4t (t+2)2

=2

t t2+4t+4

=2

1 t+ 4 t +4

≤2

1 4+4

=

2

2

．
∴S△OEF∈(0，

2

2

]．

點評：本題考是查橢圓方程的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．