Question

3．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線L：x=ty+1與C交于P（x₁，y₁），Q（x₁，y₂）兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{FQ}$．
（1）若λ=1，求|PQ|的長；
（2）若λ∈[$\frac{1}{2}$，2]，求|PQ|的范圍．

Answer 1

分析 利用拋物線得焦點(diǎn)弦公式，表示∴|PQ|=λ+$\frac{1}{λ}$+2，λ∈[$\frac{1}{2}，2]$，再求其值域即可．

解答 解：（1）當(dāng)λ=1時，PQ為拋物線得通經(jīng)2p，|PQ|=4PQ=4；…（4分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$得y²-4ty-4=0'
y₁+y₂=4t…①y₁y₂=-4…②
∵$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PQ}$⇒y₁=-λy₂…③
由①②③消去y₁，y₂得4t²=λ+$\frac{1}{λ}$-2…④
∵直線L：x=ty+1過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），
∴|PQ|=x₁+x₂+2=t（y₁+y₂）+4=4t²+4…⑤．
把④代入⑤得∴|PQ|=λ+$\frac{1}{λ}$+2，λ∈[$\frac{1}{2}，2]$
∴∴|PQ|$∈[4，\frac{9}{2}]$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的焦點(diǎn)弦問題，焦點(diǎn)弦公式是關(guān)鍵．