(本小題滿分12分)
已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).
時,求的單調區(qū)間;若函數(shù)上無零點,求最小值;
若對任意給定的,在上總存在兩個不同的),使成立,求的取值范圍.
(1) 的單調遞減區(qū)間為(0,2),單調遞增區(qū)間為(2,).
(2) 的最小值為.
(3) 時,對任意給定的,在上總存在兩個不同的),使得成立。

試題分析:解:(I)當時,,則.由;由.故的單調遞減區(qū)間為(0,2),單調遞增區(qū)間為(2,).
(II)因為在區(qū)間上恒成立是不可能的,故要使函數(shù)上無零點,只要對任意,恒成立.即對,恒成立.令,,則,再令,,則。故為減函數(shù),于是,從而,于是上為增函數(shù),所以,故要使恒成立,只要.綜上可知,若函數(shù)上無零點,則的最小值為
.
(III),所以上遞增,在上遞減.又
,,所以函數(shù)上的值域為.當時,不合題意;當時,, 。
時,,由題意知,上不單調,故,即。此時,當變化時,,的變化情況如下:






0
+


最小值

又因為當時,,,,所以,對任意給定的,在上總存在兩個不同的),使得成立,當且僅當滿足下列條件:
,令,則,故當,函數(shù)單調遞增,當,函數(shù)單調遞減,所以,對任意的,有,即(2)對任意恒成立,則(3)式解得(4)。綜合(1)、(4)可知,當時,對任意給定的,在上總存在兩個不同的),使得成立。
點評:解決該試題的關鍵是能利用函數(shù)的導數(shù)符號判定其單調性,以及根據(jù)函數(shù)的單調性得到最值,同時能結合函數(shù)與方程的知識求解根的問題,屬于中檔題。
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)。
(1)時,求的最小值;
(2)若上是單調函數(shù),求實數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知f(x)是定義在(0,+)上的非負可導函數(shù),且滿足。對任意正數(shù)a、b,若a<b,則必有(   )
A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b)D. bf(b)≤f(a)

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(本題滿分14分)已知函數(shù)
(Ⅰ)求的單調區(qū)間;
(Ⅱ)如果當時,恒成立,求實數(shù)的范圍.

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函數(shù)的單調遞增區(qū)間為______________ 遞減區(qū)間為____________

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題12分)
已知奇函數(shù)對任意,總有,且當時,.
(1)求證:上的減函數(shù).
(2)求上的最大值和最小值.
(3)若,求實數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,討論的單調性;
(Ⅱ)設時,若對任意,存在,使,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

函數(shù)在區(qū)間單調遞增,則實數(shù)的取值范圍為
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

函數(shù)的單調遞減區(qū)間是        .

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