Question

（1）在公差為d的等差數列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比數列．求d，a_n；     
（2）已知等差數列{b_n}的前n項和為S_n，b₅=5，S₅=15，則數列{

1

bnbn+1

}100項和為．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用等差數列的通項公式及前n項和可得b_n，再利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁，2a₂+2，5a₃成等比數列，
∴(2a2+2)2=5a1a3，
即4（10+d+1）=50（10+2d），
化為d²-3d-4=0d，
解得d=4或-1．
當d=4時，a_n=10+4（n-1）=4n+6；
當d=-14時，a_n=10-（n-1）=11-n．
（2）∵等差數列{b_n}的前n項和為S_n，b₅=5，S₅=15，
∴15=

5(b1+5)

2

，解得b₁=1．
∴b₅=b₁+4d′，解得公差d′=1．
∴b_n=1+n-1=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數列{

1

bnbn+1

}的前100項和=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

100

-

1

101

)=1-

1

101

=

100

101

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及前n項和、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．