Question

2．如圖所示，是一個(gè)正方體的表面展開圖，A、B、C均為棱的中點(diǎn)，D是頂點(diǎn)，則在正方體中，異面直線AB和CD的夾角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 正方體的表面展開圖還原成正方體，能求出異面直線AB和CD的夾角的余弦值．

解答 解：正方體的表面展開圖還原成正方體，如圖，
則異面直線AB和CD所成角為∠EFG，
設(shè)正方體棱長為2，
在△EFG中，EF=DC=$\sqrt{5}$，EG=$\sqrt{5}$，F(xiàn)G=2$\sqrt{2}$，
∴cos∠EFG=$\frac{\frac{1}{2}FG}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴異面直線AB和CD的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查異面直線的夾角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正方體的結(jié)構(gòu)特征的合理運(yùn)用．