【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在上為單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，且，求證：對定義域內的任意實數(shù)，不等式恒成立.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調遞增可得，將問題轉化為在上恒成立；利用導數(shù)求解出在的最小值，從而得到的取值范圍；（2）將問題轉化為證明當時，，在和時分別得到需恒成立的不等式；令，通過導數(shù)研究單調性，結合可證得結論.

（1）由已知的定義域為

所以

在上單調遞增

對任意，都有

即

令，

當時，；當時，

函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減

因為時，總有

（2）當時，

對定義域內的任意正數(shù)，不等式恒成立，即時，

因為當時，；當時，，

所以只須證：當時，；當時，

令

令，則

當時，；當時，

所以是的極值點，從而有極小值，即最小值

所以恒成立

在上單調遞增，又因為

所以當時，，即恒成立；

當時，，即恒成立

所以，對定義域內的任意實數(shù)，不等式恒成立

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】今年3月5日，國務院總理李克強作的政府工作報告中，提到要“懲戒學術不端，力戒學術不端，力戒浮躁之風”.教育部日前公布的《教育部2019年部門預算》中透露，2019年教育部擬抽檢博士學位論文約6000篇，預算為800萬元.國務院學位委員會、教育部2014年印發(fā)的《博士碩士學位論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學位論文送3位同行專家進行評議，3位專家中有2位以上（含2位）專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”.有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學位論文，將再送2位同行專家進得復評，2位復評專家中有1位以上（含1位）專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”.設每篇學位論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為，且各篇學位論文是否被評議為“不合格”相互獨立.

（1）記一篇抽檢的學位論文被認定為“存在問題學位論文”的概率為，求；

（2）若擬定每篇抽檢論文不需要復評的評審費用為900元，需要復評的評審費用為1500元；除評審費外，其它費用總計為100萬元.現(xiàn)以此方案實施，且抽檢論文為6000篇，問是否會超過預算？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是函數(shù)的極值點.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：函數(shù)存在唯一的極小值點，且.

（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：（），焦點為，直線交拋物線于，兩點，為的中點，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）若，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某技術人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術人員從中隨機抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統(tǒng)計,繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內的植物有8株,在內的植物有2株.

(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;

(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在內的植物中隨機抽取3株,設隨機變量表示所抽取的3株高度在內的株數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望;

(Ⅲ)據(jù)市場調研,高度在內的該植物最受市場追捧.老王準備前往該基地隨機購買該植物50株.現(xiàn)有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費,其中高度在內的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數(shù)來付費,每株6元.請你根據(jù)該基地該植物樣本的統(tǒng)計分析結果為決策依據(jù),預測老王采取哪種付費方式更便宜?

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．則下列結論正確的是（ ）．

A.當時，

B.函數(shù)有五個零點

C.若關于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是

D.對，恒成立

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足且，點為的中點，點為邊上的動點，且.

（1）求證：平面平面；

（2）是否存在實數(shù)，使得二面角的余弦值為？若存在，試求出實數(shù)的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知p：x2-(3+a)x+3a＜0，其中a＜3；q：x2+4x-5＞0．

（1）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x2+ax，a∈R．

（Ⅰ）證明lnx≤x﹣1；

（Ⅱ）若a≥1，討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

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