Question

在直三棱柱中，已知底面積為s平方米，三個(gè)側(cè)面面積分別為m平方米，n平方米，p平方米，則它的體積為

 

立方米．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：令直三棱柱的底面三角形的三邊分別為a，b，c，高為h，則ah=m，bh=n，ch=p，即a=

m

h

，b=

n

h

，c=

p

h

．通過(guò)三角形的海倫面積公式，和直棱柱的體積公式，化簡(jiǎn)整理得到結(jié)果．

解答： 解：令直三棱柱的底面三角形的三邊分別為a，b，c，高為h，
則ah=m，bh=n，ch=p，即a=

m

h

，b=

n

h

，c=

p

h

．
在三角形ABC中，由cosC=

a2+b2-c2

2ab

，sinC=

1-cos2C

，面積S=

1

2

absinC，
可推得海倫面積公式S=

1

4

(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

．
則S=

1

4

m+n+p h • m+n-p h • m+p-n h • n+p-m h

，
即有2

S

h=

4	(m+n+p)(m+n-p)(m+p-n)(n+p-m)

故體積V=Sh=

s

2

4	(m+n+p)(m+n-p)(p+m-n)(n+p-m)

．
故答案為：

s

2

4	(m+n+p)(m+n-p)(p+m-n)(n+p-m)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直三棱柱的側(cè)面積和體積的計(jì)算，以及海倫面積公式的應(yīng)用，考查對(duì)字母的化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．