Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點B是虛軸上的一個頂點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若$\overrightarrow{BA}$=2$\overrightarrow{AF}$，且|$\overrightarrow{BF}$|=4，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1

Answer 1

分析 利用右焦點為F（c，0），點B（0，b），線段BF與雙曲線C的右支交于點A，$\overrightarrow{BA}$=2$\overrightarrow{AF}$，確定A的坐標，代入雙曲線方程，結(jié)合|$\overrightarrow{BF}$|=4，則雙曲線C的方程可求．

解答 解：設A（x，y），
∵右焦點為F（c，0），點B（0，b），線段BF與雙曲線C的右支交于點A，$\overrightarrow{BA}$=2$\overrightarrow{AF}$，
∴x=$\frac{2c}{3}$，y=$\frac{3}$，
代入雙曲線方程，可得$\frac{4}{9}×\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{1}{9}$=1，∴b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∵|$\overrightarrow{BF}$|=4，∴c²+b²=16，∴a=2，b=$\sqrt{6}$，
∴雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
故選D．

點評 本題考查向量知識的運用，考查雙曲線的方程，利用向量知識確定A的坐標是關鍵．