Question

給出以下命題其中正確的序號為

 

（1）直線y=kx+1-4k和圓x²+y²-6x-4y+9=0的位置與k的取值有關(guān)；
（2）橢圓

x2

9

+

y2

4

=1不存在以M（2，0）為中點(diǎn)的弦；
（3）雙曲線x²-

y2

2

=1不存在以P（1，1）為中點(diǎn)的弦；
（4）若拋物線y²=4x與直線y=k（x+2）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則k=0或k=

2

2

或k=-

2

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：判斷直線y=kx+1-4k恒過定點(diǎn)A（4，1），A與圓的位置關(guān)系，即可判斷（1）；
假設(shè)存在以M（2，0）為中點(diǎn)的弦AB，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)斜邊公式，
可得直線AB，即可判斷（2）；
假設(shè)雙曲線x²-

y2

2

=1存在以P（1，1）為中點(diǎn)的弦CD，運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、
斜率公式以及直線方程的形式，注意檢驗(yàn)，即聯(lián)立雙曲線方程，由判別式的符號即可判斷（3）；
對k討論，k=0和k≠0，由直線與拋物線相切時(shí)，聯(lián)立方程，運(yùn)用判別式為0，即可判斷（4）．

解答： 解：對于（1），直線y=kx+1-4k恒過定點(diǎn)A（4，1），圓x²+y²-6x-4y+9=0的圓心為C（3，2），
半徑為2，由于|AC|=

2

＜2，即有A在圓內(nèi)，則直線和圓恒相交，則（1）錯(cuò)；
對于（2），假設(shè)存在以M（2，0）為中點(diǎn)的弦AB，可設(shè)A（a，b），B（c，d），
則a+c=4，b+d=0，且

a2

9

+

b2

4

=1，

c2

9

+

d2

4

=1，兩式相減可得

(a-c)(a+c)

9

+

(b-d)(b+d)

4

=0，
即有a=c=2，AB垂直于x軸，故存在，則（2）錯(cuò)；
對于（3），假設(shè)雙曲線x²-

y2

2

=1存在以P（1，1）為中點(diǎn)的弦CD，則可設(shè)C（m，n），D（p，q），
則m+p=2，n+q=2，且m²-

n2

2

=1，p²-

q2

2

=1，兩式相減可得（m-p）（m+p）=

(n-q)(n+q)

2

，
即有k_CD=

n-q

m-p

=2，則直線CD：y=2x-1，聯(lián)立雙曲線方程可得2x²-4x+6=0，判別式為16-4×2×6＜0，
則直線不存在，則（3）對；
對于（4），若拋物線y²=4x與直線y=k（x+2）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)k=0，即y=0與拋物線交于頂點(diǎn)，
當(dāng)k≠0，直線與拋物線相切時(shí)，聯(lián)立兩方程，消去y，可得k²x²+4（k²-1）x+4k²=0，
由△=16（k²-1）²-16k⁴=0，解得k=±

2

2

，則k=0或±

2

2

，則（4）對．
故答案為：（3）（4）．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，考查圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題，考查直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．