Question

某班有甲、乙兩個學(xué)習(xí)小組，兩組的人數(shù)如下：現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名同學(xué)進行學(xué)業(yè)檢測．
（1）求從甲組抽取的同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的概率；
（2）記X為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

	甲	乙
男	3	2
女	5	2

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）依題意，甲、乙兩組的學(xué)生人數(shù)之比為2：1，所以，從甲組抽取2名學(xué)生人數(shù)，從乙組抽取1名學(xué)生，由此能求出從甲組抽取的同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的概率．
（2）隨機變量X的所有取值為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）依題意，甲、乙兩組的學(xué)生人數(shù)之比為 （3+5）：（2+2）=2：1，
所以，從甲組抽取的學(xué)生人數(shù)為

2

3

×3=2；
從乙組抽取的學(xué)生人數(shù)為

1

3

×3=1．
設(shè)“從甲組抽取的同學(xué)中恰有1名女同學(xué)”為事件A，
則 P(A)=

C 1 3 • C 1 5

C 2 8

=

15

28

，
故從甲組抽取的同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的概率為

15

28

．…（6分）
（2）隨機變量X的所有取值為0，1，2，3．
P(X=0)=

C 2 5 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

=

5

28

，
P(X=1)=

C 1 3 • C 1 5 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

+

C 2 5 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

=

25

56

，
P(X=2)=

C 2 3 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

+

C 1 3 • C 1 5 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

=

9

28

，
P(X=3)=

C 2 3 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

=

3

56

．
所以，隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	5 28	25 56	9 28	3 56

EX=0×

5

28

+1×

25

56

+2×

9

28

+3×

3

56

=

5

4

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．