Question

如圖，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為80米的扇形小山，P是弧TS上一點(diǎn)，其余部分都是平地．現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個(gè)有邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR．設(shè)∠PAT為θ，長(zhǎng)方形停車場(chǎng)面積為S．
（1）試寫出S關(guān)于θ的函數(shù)；
（2）求長(zhǎng)方形停車場(chǎng)面積S的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)RP交AB于E，延長(zhǎng)QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S關(guān)于θ的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，利用平方關(guān)系求出 sinθcosθ=

t2-1

2

，通過(guò)θ的范圍求出t的范圍，得到S關(guān)于t的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值．

解答：解：（1）延長(zhǎng)RP交AB于E，延長(zhǎng)QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得FP=80cosθ，EP=80sinθ，
∴PR=100-80sinθ，PQ=100-80cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（100-80sinθ）（100-80cosθ）
=10000-8000（sinθ+cosθ）+6400sinθcosθ
故S關(guān)于θ的函數(shù)解析式為S=10000-8000（sinθ+cosθ）+6400sinθcosθ
 (0≤θ≤

π

2

)．（6分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
即 sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴S=10000-8000t+3200（t²-1）=3200t²-8000t+6800．�。�9分）
又由 0≤θ≤

π

2

，可得

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

，
故 t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]，
∴S關(guān)于t的表達(dá)式為S=3200t²-8000t+6800（ t∈[1，

2

]）．（11分）
又由 S=1600(t-

5

2

)2-3200，t∈[1，

2

]
可知當(dāng) t=

2

時(shí)，S取最小值，當(dāng)t=1時(shí)，S取最大值．
故S的最小值為13200-8000

2

，最大值為2000．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查函數(shù)解析式的求法，注意必須注明函數(shù)的定義域，利用換元法求出函數(shù)的表達(dá)式，二次函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．