如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,且E為PB的中點AC與BD交于點M,
(1)求證:ME∥PD;
(2)當(dāng)PD=
2
AB,求AE與平面PBD所成的角的正切值.
考點:直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)由底面ABCD是正方形,AC與BD交于點M,知M是BD中點,又E為PB的中點,由此能證明ME∥PD.
(2)由已知條件得AM⊥BD,從而AM⊥平面PBD,進而∠AEM是AE與平面PBD所成的角,由此能求出AE與平面PBD所成的角的正切值.
解答: (1)證明:∵底面ABCD是正方形,AC與BD交于點M,
∴M是BD中點,又E為PB的中點,
∴ME是△PBD的中位線,
∴ME∥PD.
(2)解:∵PD⊥底面ABCD,ME∥PD,
∴ME⊥底面ABCD,∴AM⊥EM,
又底面ABCD是正方形,AC與BD交于點M,
∴AM⊥BD,又BD∩EM=M,
∴AM⊥平面PBD,
∴∠AEM是AE與平面PBD所成的角,
∵PD=
2
AB,∴EM=
1
2
PD=
2
2
AB
,
∵AM=
1
2
AC=
1
2
2AB2
=
2
2
AB

∴tan∠AEM=
AM
EM
=1.
∴AE與平面PBD所成的角的正切值為1.
點評:本題考查直線與直線平行的證明,考查線面角的正切值的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1、F2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若雙曲線左支上存在一點P與點F2關(guān)于直線
y=
bx
a
對稱,則該雙曲線的離心率為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點M的球坐標為(1,
π
3
,
π
6
),則它的直角坐標為(  )
A、(1,
π
3
,
π
6
B、(
3
4
,
3
4
,
1
2
C、(
3
4
,
3
4
1
2
D、(
3
4
,
3
4
,
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下面四個結(jié)論:
①若y=3x,則y′=3xln3;
②若y=ex,則y′=ex;
③若y=lnx,則y′=
1
x
;
④若y=logax(a>0,且a≠1),則y′=
1
x
lna.
其中正確的個數(shù)是(  )
A、1個B、2個C、3個D、4個

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某種福利彩票每期的開獎方式是,從1,2,…,20的基本號碼中由電腦隨機選出4個不同的幸運號碼(不計順序),凡購買彩票者,可自由選擇1個,2個,3個或4個不同的基本號碼組合成一注彩票,若彩票上所選的基本號碼都為幸運號碼就中獎.根據(jù)所選基本號碼(幸運號碼)的個數(shù),中獎等級分為
基本號碼數(shù)
(幸運號碼數(shù))
1234
中獎等級四等獎三等獎二等獎一等獎
(1)求購買一注彩票獲得三等獎或者四等獎的概率;
(2)設(shè)隨機變量X表示一注彩票的獲獎等級,X取值0,1,2,3,4(0表示未獲獎),求隨機變量X的分布列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=2sin(
π
6
-2x),x∈[
π
6
π
2
]的最大值并求最大值時x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x2+ax+4
x
(x>0).
(1)求證:函數(shù)f(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增;
(2)A={x|x2-5x+4<0},B={x|f(x)<2},若B⊆A,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=x2+x,用g(n)表示f(x)當(dāng)x∈[n,n+1](n∈N*)時的函數(shù)值中整數(shù)值的個數(shù).
(1)求g(n)的表達式.
(2)設(shè)an=
2n3+3n2
g(n)
(n∈N*),求S2n=
2n
k=1
(-1)k-1ak
(3)設(shè)bn=
g(n)
2n
,Tn=b1+b2+…+bn,若Tn<l(l∈Z),求l的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0且a≠1,設(shè)命題p:對數(shù)函數(shù)y=logax在R+上單調(diào)遞減,命題q:曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點,如果“p∨q”為真,且“p∧q”為假,求a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案